ケリー基準のポジションサイズ計算ツール

ケリーサイジングの仕組み

ケリー基準が答えるのは一つの問いです。エッジが既知の賭けを繰り返すとき、資金のどれだけの割合が長期の成長率を最大化するか。期待利益を最大化するものではありませんし（その答えは常に全額投入です）、リスクを最小化するものでもありません。最大化するのは資産の対数の期待値であり、これが複利を支配する量です。この選択こそが、ケリー基準を有用にすると同時に危険にもしています。

計算式

ネットオッズ   b = (1 − c) / c
フルケリー    f* = (p·b − (1 − p)) / b = (p − c) / (1 − c)
投入額      k · f* · 運用資金
期待値      投入額 · (p − c) / c
対数成長率    g = p·ln(1 + f·b) + (1 − p)·ln(1 − f)
ドローダウン   P(資産が α·W₀ に到達) ≈ α^(2/k − 1)

バイナリ型契約では式が気持ちよく簡単になります。結果が起きれば 1 を支払うシェアを価格 c で買うとき、ネットオッズは b = (1 − c)/c であり、一般のケリー比率は (p − c)/(1 − c) に整理されます。分子は確率ポイントで表した素のエッジ、分母は外れたときに 1 シェアあたり失う額です。こう書くと挙動は明らかです。同じエッジでも、価格が高いほうが低いときよりずっと大きな投入額を正当化します。1 シェアあたりの下振れが小さいからです。

問題が始まるのもそこです。フルケリーは、最後のわずかな成長を買うために大きな分散を受け入れます。連続時間の近似のもとでは、フルケリー比率でサイズを取った戦略は、途中のどこかで資金が半減する確率がほぼ五分五分、出発点の10分の1まで落ちる確率が10分の1あります。これらはテールのシナリオではなく、式が推奨する戦略の通常の挙動です。

二つ目の問題はより深刻で、あまり語られません。ケリー基準は p が既知であることを前提とします。予測市場では p はあなたの見積もりであり、推奨されるサイズはそれに非常に敏感です。推奨比率はエッジより速く動くため、数ポイント高い見積もりは真の最適値を大きく超える投入額を生みます。過大な賭けと過小な賭けは対称ではありません。最適サイズの半分なら成長率の4分の1を失うだけですが、最適サイズの2倍なら成長率をすべて失います。したがって p の不確かさは、常にサイズを下げる方向の論拠になります。

これが分数ケリーが実務上の形である理由です。標準的な二次近似のもとでは、係数 k を適用すると成長率は k(2 − k) 倍になるため、ハーフケリーでも成長の約4分の3が残ります。ドローダウンリスクははるかに速く下がり、資金が半減する確率は2分の1から8分の1になります。これは迷うような判断ではなく、フルケリーがほぼ理論上のものにとどまる理由です。

式が前提とするもの

この式はまた、賭けが一度に一つずつ行われ、独立に決着することも前提にしています。実際のブックはどちらでもありません。相関する結果への複数のポジションは一つの大きなポジションのように振る舞い、それぞれを個別のケリー比率でサイジングすると、知らないうちにどれよりも数倍大きな賭けが積み上がります。ポジションが同じ要因を共有しているなら（同じ選挙、同じマクロ指標、同じトークン）、ここで示すサイズはさらに下げる必要があり、正しい同時計算はこの計算ではありません。

この式がまったく関知しない、予測市場に固有の事情もあります。決済は曖昧になったり争われたりすることがあり、払い戻しは式が前提とする二値であるとは限りません。流動性は有限です。推奨された投入額は入力した価格では約定できないかもしれず、約定させれば価格は不利に動きます。資金は決済まで拘束されるため、方向は正しくても時間のかかるポジションには、式が決して見ないコストがあります。

正しく使うなら、出力は従うべき指示ではなく、議論の対象となる上限です。推奨された投入額に落ち着かなさを感じるなら、どの入力を信じていないのかを問い直してください。多くの場合それは確率です。

質問

推奨投入額が直感より小さいのはなぜですか。

多くの場合、ケリー基準がエッジを「外れたときに失う額」で割るためで、価格の安い契約ではその損失がほぼ投入額全体になるからです。また、おそらく 1 未満の比率を適用しているからでもあります。比率によって生じた差が分かるよう、推奨値の隣にフルケリーの数値を表示しています。

ケリー比率はいくつにすべきですか。

唯一の正解はありませんが、引き換えの形は明確です。サイズを下げると成長はゆっくり減り、ドローダウンリスクは急速に減ります。実務家の多くはフルケリーの4分の1から2分の1に落ち着きます。確率の見積もりへの自信が低いほど、さらに下げるべきです。

半減する確率は実際の予測ですか。

違います。エッジが実在し、一定で、手数料なしに無限に繰り返されることを前提とした連続時間の近似です。その価値は比較にあります。ある比率が別の比率よりどれだけ大きなドローダウンを受け入れるかを示すものです。数字そのものではなく、列全体を読んでください。

自分の見積もりが妥当かどうかを計算ツールは教えてくれますか。

教えられません。そして、すべてが依存しているのはその入力です。ケリー基準はあなたの確率を所与として扱います。見積もりが体系的に楽観的なら、式はその楽観を忠実に過大なポジションへ変換します。

背景

この計算が実際に測っているもの

計算ツールは計算を行います。ガイドはその下にある仕組みを説明します。数値がどこから来るのか、成り立つためには何が真である必要があるのか、そしてどの時点で目の前の市場を説明しなくなるのか。このページが出した数値をもとに動くつもりなら、先に読むべきはそのページです。