Kelly-Positionsgrößenrechner

Wie Kelly-Sizing funktioniert

Das Kelly-Kriterium beantwortet eine Frage: welcher Anteil einer Bankroll deren langfristige Wachstumsrate maximiert, bei einer wiederholten Wette mit bekanntem Edge. Es maximiert nicht den erwarteten Gewinn — die Antwort darauf lautet immer, alles zu setzen — und es minimiert nicht das Risiko. Es maximiert den erwarteten Logarithmus des Vermögens, also die Größe, die das Verzinsen steuert, und genau diese Wahl macht es nützlich und gefährlich zugleich.

Die Formel

Nettoquote      b = (1 − c) / c
volles Kelly    f* = (p·b − (1 − p)) / b = (p − c) / (1 − c)
Einsatz         k · f* · Bankroll
Erwartungswert  Einsatz · (p − c) / c
Log-Wachstum    g = p·ln(1 + f·b) + (1 − p)·ln(1 − f)
Drawdown        P(Vermögen erreicht je α·W₀) ≈ α^(2/k − 1)

Für einen binären Kontrakt vereinfacht sich die Formel angenehm. Kaufen Sie einen Anteil zum Preis c, der 1 zahlt, wenn der Ausgang eintritt; die Nettoquote ist b = (1 − c)/c, und der allgemeine Kelly-Anteil fällt auf (p − c)/(1 − c) zusammen. Der Zähler ist der rohe Edge in Wahrscheinlichkeitspunkten. Der Nenner ist das, was Sie je Anteil verlieren, wenn Sie falsch liegen. So geschrieben ist das Verhalten offensichtlich: derselbe Edge rechtfertigt bei hohem Preis einen viel größeren Einsatz als bei niedrigem, weil der Verlust je Anteil kleiner ist.

Genau dort beginnt auch der Ärger. Volles Kelly nimmt sehr viel Varianz in Kauf, um das letzte Stück Wachstum zu kaufen. Unter der zeitstetigen Näherung hat eine Strategie in Höhe des vollen Kelly-Anteils grob eine Chance von eins zu zwei, dass sich die Bankroll unterwegs irgendwann halbiert, und eine Chance von eins zu zehn, ein Zehntel des Ausgangswerts zu erreichen. Das sind keine Extremszenarien; das ist das gewöhnliche Verhalten der Strategie, die die Formel empfiehlt.

Das zweite Problem ist schlimmer und wird seltener besprochen. Kelly unterstellt, p sei bekannt. An einem Prognosemarkt ist p Ihre Schätzung, und die empfohlene Größe reagiert sehr empfindlich darauf: weil der empfohlene Anteil sich schneller bewegt als der Edge, erzeugt eine um wenige Punkte zu hohe Schätzung einen Einsatz deutlich über dem wahren Optimum. Überwetten und Unterwetten sind nicht symmetrisch. Die halbe optimale Größe kostet Sie ein Viertel der Wachstumsrate; die doppelte optimale Größe kostet Sie die ganze. Unsicherheit über p spricht deshalb immer dafür, kleiner zu dimensionieren.

Deshalb ist fraktionales Kelly die praktische Form. Unter der üblichen quadratischen Näherung skaliert ein Multiplikator k die Wachstumsrate mit k(2 − k), sodass halbes Kelly rund drei Viertel des Wachstums behält. Das Drawdown-Risiko fällt weit schneller: die Chance, die Bankroll je zu halbieren, sinkt von eins zu zwei auf eins zu acht. Das ist keine knappe Entscheidung, und deshalb ist volles Kelly überwiegend theoretisch.

Was die Formel unterstellt

Die Formel unterstellt außerdem, dass Wetten einzeln nacheinander eingegangen werden und unabhängig auflösen. Reale Bücher sind weder das eine noch das andere. Mehrere Positionen auf korrelierte Ausgänge verhalten sich wie eine einzige größere Position, und jede einzeln beim eigenen Kelly-Anteil zu dimensionieren, baut still eine Wette auf, die um ein Mehrfaches größer ist als jede von ihnen. Teilen Ihre Positionen einen Treiber — dieselbe Wahl, dieselbe Makrozahl, denselben Token —, müssen die Größen hier weiter reduziert werden, und die richtige gemeinsame Rechnung ist nicht diese.

Es gibt Besonderheiten von Prognosemärkten, von denen die Formel nichts weiß. Die Auflösung kann mehrdeutig oder strittig sein, sodass die Auszahlung nicht immer das Binäre ist, das die Formel unterstellt. Liquidität ist endlich: der vom Rechner empfohlene Einsatz ist zum eingegebenen Preis womöglich nicht füllbar, und ihn zu füllen bewegt den Preis gegen Sie. Kapital ist bis zur Auflösung gebunden, sodass eine Position, die richtig, aber langsam ist, Kosten hat, die die Formel nie sieht.

Richtig verwendet ist die Ausgabe eine Obergrenze, mit der man streitet, keine Anweisung. Wenn Ihnen der empfohlene Einsatz unangenehm ist, fragen Sie, welcher Eingabe Sie nicht glauben — meist der Wahrscheinlichkeit.

Fragen

Warum ist der empfohlene Einsatz kleiner als meine Intuition?

Meist, weil Kelly den Edge durch das teilt, was Sie verlieren, wenn Sie falsch liegen, und bei einem billigen Kontrakt ist dieser Verlust fast der ganze Einsatz. Und weil Sie wahrscheinlich einen Anteil unter 1 angewandt haben. Die Zahl für volles Kelly steht neben der Empfehlung, damit Sie den Abstand sehen, den der Anteil erzeugt hat.

Welchen Kelly-Anteil sollte ich verwenden?

Es gibt keine einzelne richtige Antwort, aber die Form des Tauschs ist klar: Wachstum fällt langsam, wenn Sie kleiner dimensionieren, und das Drawdown-Risiko fällt schnell. Zwischen einem Viertel und der Hälfte des vollen Kelly landen die meisten Praktiker. Je weniger Vertrauen Sie in Ihre Wahrscheinlichkeitsschätzung haben, desto weiter unten sollten Sie liegen.

Ist die Halbierungschance eine echte Prognose?

Nein. Es ist eine zeitstetige Näherung, die unterstellt, dass der Edge real und konstant ist und sich ohne Gebühren unbegrenzt wiederholt. Ihr Wert liegt im Vergleich: sie sagt Ihnen, wie viel mehr Drawdown ein Anteil gegenüber einem anderen akzeptiert. Lesen Sie die Spalte, nicht die Ziffer.

Kann der Rechner mir sagen, ob meine Schätzung gut ist?

Er kann es nicht, und das ist die Eingabe, von der alles abhängt. Kelly nimmt Ihre Wahrscheinlichkeit als gegeben. Wenn Ihre Schätzungen systematisch optimistisch sind, wird die Formel diesen Optimismus getreulich in übergroße Positionen übersetzen.

Hintergrund

Was diese Rechnung tatsächlich misst

Der Rechner erledigt die Arithmetik. Der Leitfaden erklärt den Mechanismus darunter: woher die Zahl kommt, was zutreffen muss, damit sie gilt, und ab welchem Punkt sie den Markt vor Ihnen nicht mehr beschreibt. Wenn Sie nach einer Zahl handeln wollen, die diese Seite erzeugt hat, ist das die Seite, die Sie zuerst lesen sollten.