Calculateur de taille de position Kelly

Comment fonctionne le dimensionnement de Kelly

Le critère de Kelly répond à une seule question : quelle fraction d'un bankroll maximise son taux de croissance à long terme, pour un pari répété dont l'edge est connu. Il ne maximise pas le profit attendu — la réponse serait toujours de tout miser — et il ne minimise pas le risque. Il maximise le logarithme espéré de la richesse, la quantité qui gouverne la capitalisation, et ce choix est ce qui le rend utile autant que dangereux.

La formule

cote nette      b = (1 − c) / c
Kelly complet   f* = (p·b − (1 − p)) / b = (p − c) / (1 − c)
mise            k · f* · bankroll
valeur attendue mise · (p − c) / c
croissance log  g = p·ln(1 + f·b) + (1 − p)·ln(1 − f)
drawdown        P(capital atteint α·W₀) ≈ α^(2/k − 1)

Pour un contrat binaire la formule se simplifie agréablement. Achetez une part au prix c qui paie 1 si le résultat se produit ; la cote nette vaut b = (1 − c)/c, et la fraction de Kelly générale se réduit à (p − c)/(1 − c). Le numérateur est l'edge brut en points de probabilité. Le dénominateur est ce que vous perdez par part si vous vous trompez. Écrit ainsi, le comportement est évident : le même edge justifie une mise bien plus grande à prix élevé qu'à prix bas, parce que la perte par part y est plus faible.

C'est aussi là que les ennuis commencent. Le Kelly complet accepte beaucoup de variance pour acheter le dernier incrément de croissance. Sous l'approximation en temps continu, une stratégie dimensionnée à la fraction de Kelly complète a environ une chance sur deux de voir le bankroll réduit de moitié en cours de route, et une chance sur dix d'atteindre un dixième de son point de départ. Ce ne sont pas des scénarios de queue ; c'est le comportement ordinaire de la stratégie que la formule recommande.

Le second problème est pire et moins discuté. Kelly suppose p connu. Sur un marché prédictif, p est votre estimation, et la taille recommandée y est très sensible : comme la fraction recommandée bouge plus vite que l'edge, une estimation trop haute de quelques points produit une mise bien au-dessus de l'optimum réel. Surdimensionner et sous-dimensionner ne sont pas symétriques. La moitié de la taille optimale vous coûte un quart du taux de croissance ; le double vous le coûte en entier. L'incertitude sur p plaide donc toujours pour dimensionner à la baisse.

C'est pourquoi le Kelly fractionnaire est la forme pratique. Sous l'approximation quadratique standard, appliquer un multiplicateur k met le taux de croissance à l'échelle k(2 − k) : le demi-Kelly conserve donc environ les trois quarts de la croissance. Le risque de drawdown baisse bien plus vite : la chance de voir le bankroll réduit de moitié passe d'une sur deux à une sur huit. L'arbitrage n'est pas serré, et c'est pourquoi le Kelly complet reste surtout théorique.

Ce que la formule suppose

La formule suppose aussi des paris pris un par un et résolus indépendamment. Les books réels ne le sont pas. Plusieurs positions sur des résultats corrélés se comportent comme une seule position plus grande, et dimensionner chacune à sa propre fraction de Kelly construit discrètement un pari plusieurs fois plus gros que chacune d'elles. Si vos positions partagent un même facteur — la même élection, la même publication macro, le même token — les tailles indiquées ici doivent être réduites davantage, et le bon calcul conjoint n'est pas celui-ci.

Il existe des spécificités des marchés prédictifs que la formule ignore. La résolution peut être ambiguë ou contestée : le paiement n'est donc pas toujours le binaire que la formule suppose. La liquidité est finie : la mise recommandée peut ne pas être exécutable au prix saisi, et l'exécuter déplacera le prix contre vous. Le capital est immobilisé jusqu'à la résolution : une position juste mais lente a donc un coût que la formule ne voit jamais.

Bien utilisée, la sortie est une borne haute à discuter, pas une consigne. Si la mise recommandée vous met mal à l'aise, demandez-vous quelle saisie vous ne croyez pas — en général la probabilité.

Questions

Pourquoi la mise recommandée est-elle plus petite que mon intuition ?

En général parce que Kelly divise l'edge par ce que vous perdez quand vous vous trompez, et sur un contrat bon marché cette perte représente presque toute la mise. C'est aussi parce que vous avez sans doute appliqué une fraction inférieure à 1. Le chiffre du Kelly complet est affiché à côté de la recommandation pour que vous voyiez l'écart créé par la fraction.

Quelle fraction de Kelly utiliser ?

Il n'y a pas de réponse unique, mais la forme de l'arbitrage est claire : la croissance baisse lentement quand vous réduisez la taille, et le risque de drawdown baisse vite. Entre un quart et une moitié du Kelly complet est là où se situent la plupart des praticiens. Moins vous avez confiance en votre estimation de probabilité, plus vous devez descendre.

Le risque de division par deux est-il une vraie prévision ?

Non. C'est une approximation en temps continu qui suppose un edge réel, constant et répété indéfiniment sans frais. Sa valeur est comparative : elle indique de combien une fraction accepte plus de drawdown qu'une autre. Lisez la colonne, pas le chiffre.

Le calculateur peut-il me dire si mon estimation est bonne ?

Non, et c'est pourtant la saisie dont tout dépend. Kelly prend votre probabilité pour acquise. Si vos estimations sont systématiquement optimistes, la formule convertira fidèlement cet optimisme en positions surdimensionnées.

Contexte

Ce que ce calcul mesure réellement

Le calculateur fait l'arithmétique. Le guide explique le mécanisme sous-jacent : d'où vient le nombre, ce qui doit être vrai pour qu'il tienne, et le point où il cesse de décrire le marché devant vous. Si vous comptez agir sur un chiffre produit par cette page, c'est la page à lire d'abord.