Calculadora de tamanho de posição Kelly

Como funciona o dimensionamento de Kelly

O critério de Kelly responde uma pergunta: que fração de uma banca maximiza sua taxa de crescimento de longo prazo, dada uma aposta repetida com vantagem conhecida. Ele não maximiza o lucro esperado — essa resposta é sempre apostar tudo — e não minimiza risco. Ele maximiza o logaritmo esperado da riqueza, que é a grandeza que governa a composição, e essa escolha é o que o torna útil e o que o torna perigoso.

A fórmula

odds líquidas    b = (1 − c) / c
Kelly cheio      f* = (p·b − (1 − p)) / b = (p − c) / (1 − c)
aposta           k · f* · banca
valor esperado   aposta · (p − c) / c
crescimento log  g = p·ln(1 + f·b) + (1 − p)·ln(1 − f)
drawdown         P(riqueza atingir α·W₀) ≈ α^(2/k − 1)

Para um contrato binário a fórmula simplifica bem. Compre uma share ao preço c que paga 1 se o resultado acontecer; as odds líquidas são b = (1 − c)/c, e a fração geral de Kelly colapsa para (p − c)/(1 − c). O numerador é a vantagem bruta em pontos de probabilidade. O denominador é o que você perde por share se estiver errado. Escrito assim o comportamento fica óbvio: a mesma vantagem justifica uma aposta bem maior em um preço alto do que em um baixo, porque a perda por share é menor.

É aí também que começa o problema. O Kelly cheio aceita muita variância para comprar o último incremento de crescimento. Sob a aproximação de tempo contínuo, uma estratégia dimensionada na fração de Kelly cheio tem aproximadamente uma chance par de a banca cair pela metade em algum ponto do caminho, e uma chance em dez de chegar a um décimo de onde começou. Esses não são cenários de cauda; são o comportamento comum da estratégia que a fórmula recomenda.

O segundo problema é pior e menos discutido. Kelly assume que p é conhecido. Em um mercado de previsão p é sua estimativa, e o tamanho recomendado é muito sensível a ela: como a fração recomendada se move mais rápido que a vantagem, uma estimativa alguns pontos alta demais produz uma aposta bem acima do ótimo real. Apostar demais e apostar de menos não são simétricos. Metade do tamanho ótimo custa um quarto da taxa de crescimento; o dobro do tamanho ótimo custa toda ela. A incerteza sobre p, portanto, argumenta por dimensionar para baixo, sempre.

É por isso que o Kelly fracionário é a forma prática. Sob a aproximação quadrática padrão, aplicar um multiplicador k escala a taxa de crescimento por k(2 − k), então meio Kelly mantém cerca de três quartos do crescimento. O risco de drawdown cai bem mais rápido: a chance de a banca cair pela metade em algum momento passa de uma em duas para uma em oito. Não é uma decisão apertada, e é por isso que o Kelly cheio é quase sempre teórico.

O que a fórmula assume

A fórmula também assume que as apostas são feitas uma de cada vez e se resolvem de forma independente. Books reais não são nem uma coisa nem outra. Várias posições em resultados correlacionados se comportam como uma posição maior, e dimensionar cada uma pela sua própria fração de Kelly constrói silenciosamente uma aposta várias vezes maior que qualquer uma delas. Se suas posições compartilham um mesmo motivo — a mesma eleição, o mesmo dado macro, o mesmo token — os tamanhos aqui precisam ser reduzidos ainda mais, e o cálculo conjunto correto não é este.

Há especificidades de mercados de previsão que a fórmula desconhece. A resolução pode ser ambígua ou contestada, então o pagamento nem sempre é o binário que a fórmula assume. A liquidez é finita: a aposta que a calculadora recomenda pode não ser executável no preço que você digitou, e executá-la vai mover o preço contra você. O capital fica travado até a resolução, então uma posição que está certa mas é lenta tem um custo que a fórmula nunca vê.

Usado direito, o resultado é um limite superior para discutir, não uma instrução. Se a aposta recomendada deixa você desconfortável, pergunte em qual entrada você não acredita — normalmente a probabilidade.

Perguntas

Por que a aposta recomendada é menor que minha intuição?

Normalmente porque Kelly divide a vantagem pelo que você perde quando está errado, e em um contrato barato essa perda é quase toda a aposta. Também porque você provavelmente aplicou uma fração abaixo de 1. O valor de Kelly cheio aparece ao lado da recomendação para você ver a distância que a fração criou.

Que fração de Kelly devo usar?

Não existe resposta única, mas o formato da troca é claro: o crescimento cai devagar conforme você reduz o tamanho, e o risco de drawdown cai rápido. Entre um quarto e metade do Kelly cheio é onde a maioria dos praticantes fica. Quanto menos confiança você tiver na sua estimativa de probabilidade, mais para baixo deve estar.

A chance de cair pela metade é uma previsão real?

Não. É uma aproximação de tempo contínuo que assume que a vantagem é real, constante e repetida indefinidamente sem taxas. Seu valor é comparativo: diz quanto mais drawdown uma fração aceita em relação a outra. Leia a coluna, não o dígito.

A calculadora pode me dizer se minha estimativa é boa?

Não pode, e é essa a entrada da qual tudo depende. Kelly toma sua probabilidade como dada. Se suas estimativas são sistematicamente otimistas, a fórmula vai converter fielmente esse otimismo em posições grandes demais.

Contexto

O que este cálculo está de fato medindo

A calculadora faz a aritmética. O guia explica o mecanismo por baixo dela: de onde vem o número, o que precisa ser verdade para ele valer, e o ponto em que ele deixa de descrever o mercado à sua frente. Se você vai agir com base em um número que esta página produziu, aquela é a página para ler primeiro.