Калькулятор размера позиции по Келли

Как работает расчёт размера по Келли

Критерий Келли отвечает на один вопрос: какая доля банкролла максимизирует его долгосрочную скорость роста при повторяющейся ставке с известным преимуществом. Он не максимизирует ожидаемую прибыль — там ответ всегда «поставить всё» — и не минимизирует риск. Он максимизирует ожидаемый логарифм капитала, а это величина, управляющая сложным ростом, и именно этот выбор делает его полезным и он же делает его опасным.

Формула

чистый коэф.   b = (1 − c) / c
полный Келли   f* = (p·b − (1 − p)) / b = (p − c) / (1 − c)
ставка         k · f* · банкролл
ожид. ценность ставка · (p − c) / c
лог-рост       g = p·ln(1 + f·b) + (1 − p)·ln(1 − f)
просадка       P(капитал когда-либо дойдёт до α·W₀) ≈ α^(2/k − 1)

Для бинарного контракта формула приятно упрощается. Вы покупаете долю по цене c, которая выплачивает 1, если исход происходит; чистый коэффициент b = (1 − c)/c, и общая доля Келли сворачивается к (p − c)/(1 − c). Числитель — это сырое преимущество в пунктах вероятности. Знаменатель — то, что вы теряете на долю, если ошиблись. В такой записи поведение очевидно: одно и то же преимущество оправдывает гораздо больший размер при высокой цене, чем при низкой, потому что убыток на долю меньше.

Здесь же начинаются неприятности. Полный Келли принимает изрядную дисперсию ради последнего приращения роста. В приближении непрерывного времени стратегия с размером в полную долю Келли имеет примерно равный шанс того, что банкролл где-то по пути сократится вдвое, и шанс один к десяти дойти до десятой части начального. Это не хвостовые сценарии, это обычное поведение стратегии, которую рекомендует формула.

Вторая проблема хуже и обсуждается реже. Келли предполагает, что p известно. На рынке предсказаний p — это ваша оценка, и рекомендуемый размер очень к ней чувствителен: поскольку рекомендуемая доля движется быстрее преимущества, оценка, завышенная на несколько пунктов, даёт ставку заметно выше истинного оптимума. Перебор и недобор несимметричны. Половина оптимального размера стоит вам четверти скорости роста; двойной оптимальный размер стоит вам её всей. Поэтому неопределённость в p всегда говорит в пользу уменьшения размера.

Именно поэтому дробный Келли — практическая форма. В стандартном квадратичном приближении применение множителя k масштабирует скорость роста как k(2 − k), так что половинный Келли сохраняет около трёх четвертей роста. Риск просадки падает намного быстрее: шанс когда-либо потерять половину банкролла снижается с одного к двум до одного к восьми. Это не близкий выбор, и поэтому полный Келли остаётся в основном теоретическим.

Что предполагает формула

Формула также предполагает, что ставки делаются по одной и разрешаются независимо. Реальные позиции — ни то, ни другое. Несколько позиций на коррелированных исходах ведут себя как одна крупная, и размер каждой по её собственной доле Келли незаметно собирает ставку в несколько раз больше любой из них. Если ваши позиции связаны общим драйвером — одни выборы, одна макростатистика, один токен — размеры отсюда нужно уменьшать дальше, и правильный совместный расчёт — не этот.

Есть особенности рынков предсказаний, о которых формула ничего не знает. Расчёт может быть неоднозначным или оспоренным, поэтому выплата не всегда бинарна, как предполагает формула. Ликвидность конечна: рекомендованную калькулятором ставку может быть невозможно исполнить по введённой вами цене, а её исполнение сдвинет цену против вас. Капитал заблокирован до расчёта, поэтому позиция, которая права, но медленна, имеет цену, которой формула не видит.

При правильном использовании результат — это верхняя граница для спора, а не указание. Если рекомендованная ставка вызывает у вас дискомфорт, спросите, какому входу вы не верите — обычно это вероятность.

Вопросы

Почему рекомендуемая ставка меньше, чем подсказывает интуиция?

Обычно потому, что Келли делит преимущество на то, что вы теряете при ошибке, а на дешёвом контракте этот убыток — почти вся ставка. И ещё потому, что вы, вероятно, применили долю ниже 1. Значение полного Келли показано рядом с рекомендацией, чтобы был виден разрыв, созданный долей.

Какую долю Келли использовать?

Единственно верного ответа нет, но форма размена ясна: рост падает медленно по мере уменьшения размера, а риск просадки — быстро. Большинство практиков останавливается между четвертью и половиной полного Келли. Чем меньше у вас уверенности в оценке вероятности, тем ниже стоит быть.

Шанс потерять половину — это реальный прогноз?

Нет. Это приближение в непрерывном времени, предполагающее, что преимущество реально, постоянно и повторяется бесконечно без комиссий. Его ценность сравнительная: оно показывает, насколько больше просадки допускает одна доля по сравнению с другой. Читайте колонку, а не цифру.

Может ли калькулятор сказать, хороша ли моя оценка?

Не может, а именно от этого входа всё и зависит. Келли принимает вашу вероятность как данность. Если ваши оценки систематически оптимистичны, формула добросовестно превратит этот оптимизм в раздутые позиции.

Контекст

Что этот расчёт измеряет на самом деле

Калькулятор делает арифметику. Руководство объясняет механизм под ней: откуда берётся число, что должно быть верно, чтобы оно держалось, и в какой момент оно перестаёт описывать рынок перед вами. Если вы собираетесь действовать по цифре, которую выдала эта страница, начинать нужно с той страницы.